Im vorliegenden Text geben wir eine kurze Einführung in nicht-euklidische Geometrien. Wir beginnen mit der Darstellung der Grundlagen der klassischen Geometrie und der Diskussion, die zu anderen Geometrien führte.
Wir sehen ein sehr altes Beispiel für einen Versuch, Euklids fünftes Postulat zu beweisen, das auf Proklus zurückgeht, und greifen einen Teil von Sacheris Arbeit auf, um dann mit Lobatschewskis Errungenschaften fortzufahren.
Vereinfacht ausgedrückt ist die Geometrie, an die wir gewöhnt sind und die uns vom Grundstudium an beigebracht wird, die sogenannte klassische Geometrie, die bestimmten Vorstellungen folgt, die als wahre Tatsachen angenommen werden und aus denen die Wahrhaftigkeit anderer Tatsachen konstruiert wird. Insbesondere das fünfte Postulat legt die Existenz von Linien fest, die als parallel bezeichnet werden, also solche, die sich niemals schneiden.
Die Geometrie entstand aus dem Bedürfnis, die Welt um uns herum zu verstehen, und von dort kamen die Axiome der euklidischen Geometrie, aber sie waren nicht ganz genau. In der Kunst sehen wir zum Beispiel, dass parallele Linien manchmal als Linien dargestellt werden, die sich am Horizont, im sogenannten Fluchtpunkt, schneiden.
Neben den nicht-euklidischen Geometrien sehen wir weitere Beispiele der Geometrie, die sogenannten Friese und Mosaike.